2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=1，证明必存在ξ，η∈(a，b)，使得eη-ξ[f(η)+f’(η)]=1。

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=1，证明必存在ξ，η∈(a，b)，使得eη-ξ[f(η)+f’(η)]=1。

admin2019-02-26  48
问题 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=1，证明必存在ξ，η∈(a，b)，使得eη-ξ[f(η)+f’(η)]=1。
选项
答案设F(x)=exf(x)，由F(x)及ex在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，均满足拉格朗日中值定理条件，因此，存在ξ，η∈(a，b)，使得 F(b)-F(a)=ebf(b)-eaf(a) =F’(η)(b-a) =eη[f’(η)+f(η)](b-a)， eb-ea=eξ(b-a)。 将以上两式相比，且由f(a)=f(b)=1，整理后有 eη-ξ[η)+f’(η)]=1。
解析
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考研数学一

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