2. 考研
  3. 设f(x)是奇函数，且对一切x有f(x+2)=f(x)+f(2)，又f(1)=a，其中a为常数．若n为整数，则f(n)=_______．

设f(x)是奇函数，且对一切x有f(x+2)=f(x)+f(2)，又f(1)=a，其中a为常数．若n为整数，则f(n)=_______．

admin2019-01-05  117
问题 设f(x)是奇函数，且对一切x有f(x+2)=f(x)+f(2)，又f(1)=a，其中a为常数．若n为整数，则f(n)=_______．
选项
答案na
解析 令x=一1，则f(1)=f(一1)+f(2)，因f(x)是奇函数，得到
    f(2)=f(1)一f(一1)=2f(1)=2a．
    再令x=1，则f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=3a，现用数学归纳法证明f(n)=na．
    当n=1，2，3时，已知或者已证．假设n≤k时，有f(k)=ka．
    当n=k+1时，
    f(k+1)=f(k一1)+f(2)=(k一1)a+2a=(k+1)a，
故对一切正整数n，有f(n)=na．
    令x=0，则f(2)=f(0)+f(2)，即f(0)=0=0.a，又f(x)是奇函数，故对一切负整数n有
    f(n)=一f(一n)=一(一na)=na．
  所以对一切整数n，均有f(n)=na．
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考研数学三

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