2. 考研
  3. 设矩阵A与B相似，且 (1)求a，b的值； (2)求可逆矩阵P，使P一1AP=B．

设矩阵A与B相似，且 (1)求a，b的值； (2)求可逆矩阵P，使P一1AP=B．

admin2016-12-16  87
问题 设矩阵A与B相似，且

(1)求a，b的值；
(2)求可逆矩阵P，使P一1AP=B．
选项
答案(1)首先将A的特征多项式分解成λ的因式的乘积．为此将|λE一A|中不含λ的某元素消成零，使其所在的列(或行)产生λ的一次因式。 [*] =(λ一2)[λ2一(a+3)λ+3(a一1)]． 因B的3个特征值为2，2，6，由A～B可知，A与B有相同的特征值，故A的特征值为λ1=λ2=2，λ3=b．由于2是A的二重特征值，故2是方程λ2一(a+3)λ+3(a一1)=0的根，把λ1=2代入上式即得a=5，因而有 |λE一A|=(λ一2)(λ2一8λ+12)=(λ一2)2(λ一6)． 于是b=λ3=6． (2)解线性方程组(2E一A)X=0，(6E一A)X=0分别得到对应于λ1=λ2=2，λ3=6的特征向量 α1=[1，一1，0]T ，α2=[1，0，1]T； α3=[1，一2，3]T ，易验证α1 ，α2 ，α3线性无关．令P=[α1 ，α2 ，α3]，有P一1 AP=B，于是P=[α1 ，α2 ，α3]即为所求．
解析 先求出A的3个特征值λ1 ，λ2 ，λ3 ，再分别求出A的对应于λi的特征向量αi (i=1，2，3)，则可求出可逆矩阵P=[α1 ，α2 ，α3]．
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考研数学三

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