2. 考研
  3. 设二次型 f(x1 ，x2 ，x3)=XTAX=[x1 ，x2 ，x3] 满足 (1)用正交变换化二次型为标准形，并求所作的正交变换； (2)求该二次型．

设二次型 f(x1 ，x2 ，x3)=XTAX=[x1 ，x2 ，x3] 满足 (1)用正交变换化二次型为标准形，并求所作的正交变换； (2)求该二次型．

admin2016-12-16  41
问题 设二次型
f(x1 ，x2 ，x3)=XTAX=[x1 ，x2 ，x3]

满足
(1)用正交变换化二次型为标准形，并求所作的正交变换；
(2)求该二次型．
选项
答案(1)由AB=0即知B中兰个列向量均为A的属于零特征值的特征向量。 事实上，设B=[α1 ，α2 ，α3]，则Aαi=0 (1=1，2，3)．显然α1 ，α2线性无关，且α3=α1+α2 ，故λ1=0至少是二重特征值，又因 [*] 故λ1=λ2=0，λ3=2．设对应于λ3=2的特征向量为 β3=[x1 ，x2 ，x3]T ， 则α1与β3 ，α2与β3正交，于是有 [*] 由[*]知，该方程组的基础解系为 [一1/2，一1/2，1]T． 为方便计，取β3=[1，1，一2]T． 注意到α1 ，α2 ，β3两两正交，只需单位化 [*] 则Q=[η1 ，η2 ，η3]为正交矩阵，作正交变换X=QY，则 f=XTAX=(QY)TA(QY)=YT(QTAQ)Y [*] (2)由 QTAQ=Q一1AQ=[*]，得到 [*] f(x1 ，x2 ，x3)=[*]
解析 为解决问题(1)与(2)需先求出A的特征值、特征向量．因A为抽象矩阵，故只能由定义及其性质求之．
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考研数学三

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