设3阶矩阵A=(α1，α2，α3)有3个不同的特征值，且α3=α1+2α2。 (Ⅰ)证明：r(A)=2； (Ⅱ)设β=α1+α2+α3，求方程组Ax=β的通解。

admin2018-04-08 71

问题设3阶矩阵A=(α₁，α₂，α₃)有3个不同的特征值，且α₃=α₁+2α₂。
(Ⅰ)证明：r(A)=2；
(Ⅱ)设β=α₁+α₂+α₃，求方程组Ax=β的通解。

选项

答案(Ⅰ)因为A有三个不同的特征值，所以A至多只有1个零特征值，故r(A)≥2。又因为α₃=α₁+2α₂，所以矩阵A的列向量组线性相关，故r(A)≤2。从而r(A)=2。 (Ⅱ)由r(A)=2可知，齐次线性方程组Ax=0的基础解系只有1个解向量。再由α₃=α₁+2α₂可得，α₁+2α₂－α₃=0，从而可得Ax=0的基础解系为(1，2，－1)^T。由β=α₁+α₂+α₃可得，Ax=β的特解为(1，1，1)^T，所以Ax=β的通解为 k(1，2，－1)^T+(1，1，1)^T，其中k∈R。

解析

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考研数学一

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设3阶矩阵A=(α1，α2，α3)有3个不同的特征值，且α3=α1+2α2。 (Ⅰ)证明：r(A)=2； (Ⅱ)设β=α1+α2+α3，求方程组Ax=β的通解。

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