2. 考研
  3. 已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则下列向量组中线性无关的是( )．

已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则下列向量组中线性无关的是( )．

admin2019-06-04  44
问题 已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则下列向量组中线性无关的是(    )．
选项 A、α1+α2，α2一α3，α3一α4，α4+α1
B、α1+α2，α1—2α3，α1+α2一α3，5α2+α3
C、α1+α2+α3，α1一α2+α3，α1+3α2+9α3
D、α1+α3，α2+2α3+α4，α1+2α3+α4，α2+3α3+2α4
答案C
解析 因为
(α1+α2)一(α2一α3)一(α3一α4)一(α4+α1)=0，
所以向量组(A)线性相关．
若令  
β1=α1+α2，β2=α1—2α3，β3=α1+α2—α3，βi=5α2+α3．
则β1，β2，β3，β4可由α1，α2，α3线性表示，即多数向量可由少数向量线性表示，因此β1，β2，β3，β4线性相关，即向量组(B)线性相关．
关于(C)，由α1，α2，α3，α4线性无关知，α1，α2，α3线性无关．若令
β1=α1+α2+α3，  β2=α1－α2+α3， β3=α1+3α2+9α3，
则    [β1，β2，β3]=[α1，α2，α3]
因为是范德蒙行列式，不为0，所以
r(β1，β2，β3)=r(α1，α2，α3)=3，
即向量组(C)线性无关，故仅(C)入选．因
[α1+α3，α2+2α3+α4，α1+2α3+α4，α2+3α3+2α4]
=[α1，α2，α3，α4]
而右边行列式等于0，故(D)中向量组线性相关．
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