n维向量组(Ⅰ)α1，α2，…，αs和(Ⅱ)β1，β2，…，βt等价的充分必要条件是

admin2019-06-04 71

问题 n维向量组(Ⅰ)α₁，α₂，…，α_s和(Ⅱ)β₁，β₂，…，β_t等价的充分必要条件是

选项 A、r(Ⅰ)：r(Ⅱ)，并且s＝t．
B、r(Ⅰ)＝r(Ⅱ)＝n．
C、(Ⅰ)的极大无关组和(Ⅱ)的极大无关组等价．
D、(Ⅰ)和(Ⅱ)都线性无关，并且s＝t．

答案C

解析极大无关组与原组是等价的．由等价的传递性立即可得到(Ⅰ)与(Ⅱ)等价的充分必要条件是它们各自的极大无关组等价．
选项A缺少条件r(Ⅰ，Ⅱ)＝r(Ⅰ)．
选项B是(Ⅰ)与(Ⅱ)等价的一个充分条件，但是等价并不要求向量组的秩达到维数．
选项D(Ⅰ)和(Ⅱ)都无关不能得到它们互相可以线性表示，例如
(Ⅰ)：α₁＝(1，0，0，0)，α₂＝(0，1，0，0)，(Ⅱ)：β₁＝(0，0，1，0)，设β₂＝(0，0，0，1)．
(Ⅰ)和(Ⅱ)都无关，并且s＝t＝2，但是(Ⅰ)和(Ⅱ)不等价．

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考研数学一

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