已知y1=xex+e—x是某二阶非齐次线性微分方程的特解，y2=(x+1)ex是相应二阶齐次线性微分方程的特解，求此非齐次线性微分方程．

admin2021-08-02 81

问题已知y₁=xe^x+e^—x是某二阶非齐次线性微分方程的特解，y₂=(x+1)e^x是相应二阶齐次线性微分方程的特解，求此非齐次线性微分方程．

选项

答案由于y₁=(x+1)e^x为二阶齐次线性微分方程的特解，由解的结构可知，y=e^x与y=xe^x都为该齐次方程的解．故r=1为二重特征根，特征方程为 (r一1)²=r²—2r+1=0，齐次方程为 y”一2y’+y=0．又由于y₁=xe^x+e^—x为非齐次方程的特解，y=xe^x为对应齐次方程的解，可知y₁=xe^x=e^—x=y^*也为该非齐次方程的特解．设所求方程为 y”—2y’+y=f(x)．将y^*=e^—x代入上面的方程，可得f(x)=4e^—x．因此所求方程为y”一2y‘+y=4e^—x．

解析

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考研数学二

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已知y1=xex+e—x是某二阶非齐次线性微分方程的特解，y2=(x+1)ex是相应二阶齐次线性微分方程的特解，求此非齐次线性微分方程．

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