抛物线y=x2上任意点(a ，a2)(a＞0)处引切线L1，在另一点处引另一切线L2，L2与L1垂直， (Ⅰ)求L1与L2交点的横坐标x1； (Ⅱ)求 L1，L2与抛物线y=x2所围图形的面积S(a)； (Ⅲ)问a＞0取向值时S(a)取最小值。

admin2020-12-17 162

问题抛物线y=x²上任意点(a ，a²)(a＞0)处引切线L₁，在另一点处引另一切线L₂，L₂与L₁垂直，
(Ⅰ)求L₁与L₂交点的横坐标x₁；
(Ⅱ)求 L₁，L₂与抛物线y=x²所围图形的面积S(a)；
(Ⅲ)问a＞0取向值时S(a)取最小值。

选项

答案(Ⅰ)抛物线y=x²在点(a，a²)处的切线为L₁：y=a²+2a(x-a)，即y=2ax-a²，另一点(b，b²)处的切线为L₂：y=b²+2b(x-b)，即y=2bx-b²，由L₁与L₂垂直→2b=[*]，b=[*]。它们的交点(x₁，y₁)满足2ax₁-a²=2bx₁-b²，x₁=[*]。于是[*]。 (Ⅱ) L₁，L₂与y=x²所围图形的面积 [*] 由x₁的表达式知，x₁-b=a-x₁→[*] (Ⅲ)求导解最值问题，由[*]→a=[*]时s(a)取最小值。 [*]

解析

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考研数学三

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抛物线y=x2上任意点(a ，a2)(a＞0)处引切线L1，在另一点处引另一切线L2，L2与L1垂直， (Ⅰ)求L1与L2交点的横坐标x1； (Ⅱ)求 L1，L2与抛物线y=x2所围图形的面积S(a)； (Ⅲ)问a＞0取向值时S(a)取最小值。

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