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  3. 设f(x)是以T为周期的连续函数(若下式中用到f’(x)，则设f’(x)存在)，则以下4个结论，不正确的是 ( )

设f(x)是以T为周期的连续函数(若下式中用到f’(x)，则设f’(x)存在)，则以下4个结论，不正确的是 ( )

admin2014-04-23  56
问题 设f(x)是以T为周期的连续函数(若下式中用到f’(x)，则设f’(x)存在)，则以下4个结论，不正确的是    (    )
选项 A、f’(x)必以T为周期．
B、必以T为周期．
C、必以T为周期．
D、必以T为周期．
答案B
解析 B的反例：f(x)=sin2x，以π为周期，但不是周期函数，B不正确，选B．
事实上，设f(x)有周期T，则有周期T的充要条件是
证明如下：
令有可见F(x+T)≡F(x)的充要条件是证毕．
以下说明A，C，D均正确．
由f(x+T)=f(x)及f(x)可导，有f’(x+T)=f’(x)．
所以f’(x)有周期T，A正确．
C中的被积函数是t的周期函数，
由以上证明,以T为周期的充要条件是而该积分中的被积函数f(t)一f(一t)是t的奇函数，成立，所以C正确．
D中令有所以F(x)以T为周期，D正确．
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