设A为m×n矩阵，则下列结论不对的是( )．

admin2021-03-10 90

问题设A为m×n矩阵，则下列结论不对的是( )．

选项 A、若r(A)＝n，AB＝A且B为n阶矩阵，则B＝E
B、若r(A)＝n，则r(A┆AB)＝n
C、若r(A)＝n，且AB＝0，则B＝0
D、若r(A)＝n，则非齐次线性方程组AX＝b一定有解

答案D

解析方法一：
取A＝

，显然r(A)＝2，
对

因为r(A)≠r

，所以AX＝b无解，应选D．
方法二：
由AB＝A得A(B－E)＝0，从而r(A)＋r(B－E)≤n，
再由r(A)＝n得r(B－E)＝0，于是B＝E，A正确；
首先r(A

AB)≥r(A)＝n，
又(A

AB)＝A(E

B)，r(A

AB)＝r[A(E

B)]≤r(A)＝n，
故，r(A

AB)＝n，B正确；
由AB＝0得r(A)＋r(B)≤n，由r(A)＝n得r(B)＝0，故B＝0，C正确，应选D．

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