设一1＜x1＜0，xn+1=xn2+2xn(n=0，1，2，…)．证明数列{xn}的极限存在，并求此极限值．

admin2016-01-11 85

问题设一1＜x₁＜0，x_n+1=x_n²+2x_n(n=0，1，2，…)．证明数列{x_n}的极限存在，并求此极限值．

选项

答案因为x₁=x₀²+2x₀=(x₀+1)²一1，而一1＜x₀＜0，从而一1＜x₁＜0．假设一1＜x_n＜0，则x_n+1=(x_n+1)²一1，即一1＜x_n+1＜0，所以{x_n}有界．而[*]=x_n+2＞1，故x_n+1＜x_n，从而{x_n}单调递减，由单调有界准则，{x_n}的极限存在． [*]．则a=a²+2a，解得a=一1，a=0(舍去)，即[*]

解析

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