2. 考研
  3. 设A=，b=，方程组Ax=b有无穷多解． (Ⅰ)求a的值及Ax=b的通解； (Ⅱ)求一个正交变换x=Qy，化二次型f(x1，x2，x3)=xTAx为标准形． (Ⅲ)求一个可逆线性变换将(Ⅱ)中的f(x1，x2，x3)化为规范形．

设A=，b=，方程组Ax=b有无穷多解． (Ⅰ)求a的值及Ax=b的通解； (Ⅱ)求一个正交变换x=Qy，化二次型f(x1，x2，x3)=xTAx为标准形． (Ⅲ)求一个可逆线性变换将(Ⅱ)中的f(x1，x2，x3)化为规范形．

admin2022-04-27  148
问题 设A=，b=，方程组Ax=b有无穷多解．
(Ⅰ)求a的值及Ax=b的通解；
(Ⅱ)求一个正交变换x=Qy，化二次型f(x1，x2，x3)=xTAx为标准形．
(Ⅲ)求一个可逆线性变换将(Ⅱ)中的f(x1，x2，x3)化为规范形．
选项
答案(Ⅰ)对增广矩阵[*]作初等行变换，有 [*] 当a=-2时，Ax=b有无穷多解(a=1，无解)，则 [*] 故Ax=b的通解为 k(1，l，1)T+(1，0，0)T、(k为任意常数)． (Ⅱ)由(Ⅰ)，知A=[*]．由 ｜λE-A｜=[*]=λ(λ-3)(λ+3)=0， 得A的特征值为λ1=0。λ2=3，λ3=-3． 由(0E-A)x=0，得特征向量α1=(1，1，1)T． 由(3E-A)x=0，得特征向量α2=(1，0，-1)T． 由(-3E-A)x=0，得特征向量α3=(1，-2，1)T． 由于α1，α2，α3已正交，故只需单位化，得 γ1=[*](1，1，1)T，γ2=[*](1．0，-1)T，γ3=[*](1，-2，1)T． 令Q=(γ1，γ2，γ3)，正交变换为x=Qy，标准形为3y22-3y32． (Ⅲ)[*] 故所求可逆线性变换x=Pz，其中P=[*]，规范形为z22-z32．
解析
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考研数学三

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