设有级数 (1)求此级数的收敛域； (2)证明此级数满足微分方程y"一y=-1； (3)求此级数的和函数．

admin2016-01-11 82

问题设有级数

(1)求此级数的收敛域；
(2)证明此级数满足微分方程y"一y=-1；
(3)求此级数的和函数．

选项

答案 (1)因为[*]故此级数收敛域为(-∞，+∞)． [*] 代入方程左端，y”一y=S”(x)一S(x)=一1，即此级数满足微分方程y”一y=一1． (3)由S(x)，S’(x)表达式，知S(0)=2，S’(0)=0．y”一y=一1的特征方程为 r²一1=0．解得特征根r₁=一1，r₂=1，故对应的齐次方程通解为Y=C₁e^x+C₂e^-x．显然y*=1是y”一y=一1的一个特解，故方程通解为 y=C₁e^x+C₂e^-x+1，由S’(0)=0，S’(0)=2，得[*] 故级数的和函数为[*]

解析

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