设A，B均是m×n矩阵，则方程组Ax=0与Bx=0同解的充分必要条件是( )

admin2022-05-20 76

问题设A，B均是m×n矩阵，则方程组Ax=0与Bx=0同解的充分必要条件是( )

选项 A、A，B的列向量组等价
B、A，B的行向量组等价
C、A，B是等价矩阵
D、A^Tx=0与B^Tx=0同解

答案B

解析对于B，若Ax=0与Bx=0同解，考虑方程组

即A，B的行向量组等价，反之，若A，B的行向量组等价，记

即列向量组α₁^T，α₂^T，…，α_m^T与β₁^T，β₂^T，…，β_m^T等价，故存在矩阵P，Q，使得
(α₁^T，α₂^T，…，α_m^T)=(β₁^T，β₂^T，…，β_m^T)P，
(β₁^T，β₂^T，…，β_m^T)=(α₁^T，α₂^T，…，α_m^T)Q．
所以A=P^TB，B=Q^TA，故由Ax=0，得Bx=Q^TAx=0．反之，由Bx=0，得
Ax=P^TBx=0，即Ax=0与Bx=0同解．故B正确．
对于A，由B的证明，知A不正确．
对于C，相当于r(A)=r(B)，是必要非充分条件．
对于D，举反例，例如

显然，Ax=0与Bx=0同解，但A^Tx=0与B^Tx=0不同解．

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