2. 考研
  3. 设α1，α2，α3，α4为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=α1+tα2，β2=α2+tα3，β3=α3+tα4，β4=α4+tα1，试问实数t满足什么关系时，β1，β2，β3，β4也为Ax=0的一个基础解系。

设α1，α2，α3，α4为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=α1+tα2，β2=α2+tα3，β3=α3+tα4，β4=α4+tα1，试问实数t满足什么关系时，β1，β2，β3，β4也为Ax=0的一个基础解系。

admin2021-01-19  114
问题 设α1，α2，α3，α4为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=α1+tα2，β2=α2+tα3，β3=α3+tα4，β4=α4+tα1，试问实数t满足什么关系时，β1，β2，β3，β4也为Ax=0的一个基础解系。
选项
答案由题设知，β1，β2，β3，β4均为α1，α2，α3，α4的线性组合，齐次方程组当有非零解时，解向量的任意组合仍是该齐次方程组的解向量，所以β1，β2，β3，β3均为Ax=0的解。下面证明β1，β2，β3，β3线性无关。设 k1β1+k2β2+k3β3+k4β4=0， (*) 把β1=α1+tα2，β2=α2+tα3，β3=α3+tα4，β4=α4+tα1，代入整理得， (k1+tk4)α1+(k2+tk1)α2+(k3+tk2)α3+(k4+tk3)α4=0， 由α1，α2，α3，α4为线性方程组Ax=0的一个基础解系，知α1，α2，α3，α4线性无关，由线性无关的定义，知(*)中其系数全为零，即[*]其系数行列式 [*]=1一t4。 由齐次线性方程组只有零解得充要条件，可见，当1一t4≠0，即当t≠±1日寸，上述方程组只有零解k1=k2=k3=k4=0，从而向量组β1，β2，β3，β4线性无关。故当t≠±1时，β1，β2，β3，β4也是方程组Ax=0的基础解系。
解析
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考研数学二

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