设f(u，v)具有连续偏导数，且f’u(u，v)+f’v(u，v)=sin(u+v)eu+v，求y(x)=e—2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。

admin2019-06-29 99

问题设f(u，v)具有连续偏导数，且f’_u(u，v)+f’_v(u，v)=sin(u+v)e^u+v，求y(x)=e^—2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。

选项

答案由y(x)=e^—2xf(x，x)，有 y’(x)=一2e^—2xf(x，x)+e^—2x[f’₁(x，x)+f’₂(x，x)]，由已知条件f’_u(u，v)+f’_v(u，v)=sin(u+v)e^u+v，令u=x，v=x，得f’₁(x，x)+f’₂(x，x)=sin(2x)e^2x，于是y(x)满足一阶线性微分方程 y’(x)+2y(x)=sin2x。通解为y(x)=e^—2x[∫sin2x．e^2xdx+C]，由分部积分公式，可得∫sin2x．e^2xdx=[*](sin2x—cos2x)+Ce^—2x；C为任意实数。

解析

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考研数学二

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