设向量组（Ⅰ）：b1，…，br，能由向量组（Ⅱ）：α1，…，αs线性表示为（b1，…，br）=（α1，…，αs）K，其中K为s×r矩阵，且向量组（Ⅱ）线性无关。证明向量组（Ⅰ）线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩r（K）=r。

admin2017-12-29 67

问题设向量组（Ⅰ）：b₁，…，b_r，能由向量组（Ⅱ）：α₁，…，α_s线性表示为（b₁，…，b_r）=（α₁，…，α_s）K，其中K为s×r矩阵，且向量组（Ⅱ）线性无关。证明向量组（Ⅰ）线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩r（K）=r。

选项

答案必要性：令B=（b₁，…，b_r），A=（a₁，…，a_s），则有B=AK，由定理 r（B）=r（AK）≤min{r（A），r（K）}，结合向量组（Ⅰ）：b₁，b₂，…，b_r线性无关知r（B）=r，故r（K）≥r。又因为K为r×s阶矩阵，则有r（K）≤min{r，s}。且由向量组（Ⅰ）：b₁，b₂，…，b_r能由向量组（Ⅱ）：α₁，α₂，…，α_s线性表示，则有r≤s，即min{r，s}=r。综上所述 r≤r（K）≤r，即r（K）=r。充分性：已知r（K）=r，向量组（Ⅱ）线性无关，r（A）=s，因此A的行最简矩阵为[*]，存在可逆矩阵P使 [*] 于是有PB=PAK=[*] 由矩阵秩的性质 r（B）=r（PB）=[*]=r（K），即r（B）=r（K）=r，因此向量组（Ⅰ）线性无关。

解析

转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/RUX4777K

考研数学三

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

设向量组（Ⅰ）：b1，…，br，能由向量组（Ⅱ）：α1，…，αs线性表示为（b1，…，br）=（α1，…，αs）K，其中K为s×r矩阵，且向量组（Ⅱ）线性无关。证明向量组（Ⅰ）线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩r（K）=r。

考研数学三

设f(x)连续，f(0)=1，f’(0)=2，下列曲线与曲线y=f(x)必有公共切线的是()

设A是n阶矩阵，满足A2=A，且r(A)=r(0＜r≤n)．证明：其中Er是，r阶单位阵．

已知，2阶方阵A满足矩阵方程A2一3A一2E=O．证明：A可逆，并求出其逆矩阵A-1．

设函数y=f(x)由参数方程(t＞一1)所确定，其中φ(t)具有二阶导数，且已知证明：函数φ(t)满足方程=3(1+t)．

已知某商品的需求量D和供给量S都是价格p的函数；D=D(p)=，S=S(p)=bp，其中a＞0和b＞0为常数；价格p是时间t的函数且满足方程=k[D(p)一S(p)](k为正的常数)．假设当t=0时价格为1，试求价格函数p(t)；

已知线性方程组的通解为[2，1，0，1]T+k[1，一1，2，0]T．记αj=[α1j，α2j，α3j，α4j]T，j=1，2，…，5．问：α4能否由α1，α2，α3线性表出，说明理由．

试分析下列各个结论是函数z=f(x，y)在点P0(x0，y0)处可微的充分条件还是必要条件．(1)二元函数的极限存在；(2)二元函数z=f(x，y)在点(x0，y0)的某个邻域内有界；(3)(4)F(x)=f(x，y0)在点x0处可微，G(y)=f

下列函数中在点x＝0处可微的是()．

证明：当x＞0时，不等式＜1+x成立．

若工程在施工过程中不能停工，或不继续施工会造成安全事故或重大质量事故的，经项目法人、监理单位、设计单位同意并签字认可后即可施工，但项目法人应将情况在()个工作日内报告项目主管部门备案。

在编制施工成本计划中，将所有工作都按最迟必须开始时间开始绘制S形曲线，会产生()的情况。

入境法定检验检疫货物通关后未能在规定时间内联系检验检疫的，货主或其代理人应及时办理撤销报检手续。

企业以外购的商品向职工提供非货币性福利的，应当按照其公允价值确认职工薪酬的金额。()

乙向甲购买10台新型计算机，双方订立了合同。下列关于该合同项下计算机所有权转移的表述中，正确的有()。

佛教节日的特点是多而庞杂，吸收了中国传统的节气时令并将民俗活动糅合在一起，形成“庙会”等活动。()

以下行为构成敲诈勒索罪的有：（）

《中华人民共和国劳动法》规定：“建立劳动关系应当订立劳动合同。”这就是说：

Windows98中可以安装3种类型的网络服务软件，它们分别是Microsoft网络上的文件与打印机共享、NetWare网络上的文件与打印机共享，以及NetWare【　　】。

A、Lackofvitaminsisthemaincauseofskincancer.B、Newresearchprovesthatsunbathingcausesnoproblemsatall.C、Thedang

设向量组（Ⅰ）：b1，…，br，能由向量组（Ⅱ）：α1，…，αs线性表示为（b1，…，br）=（α1，…，αs）K，其中K为s×r矩阵，且向量组（Ⅱ）线性无关。证明向量组（Ⅰ）线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩r（K）=r。

考研数学三

设f(x)连续，f(0)=1，f’(0)=2，下列曲线与曲线y=f(x)必有公共切线的是()

设A是n阶矩阵，满足A2=A，且r(A)=r(0＜r≤n)．证明：其中Er是，r阶单位阵．

已知，2阶方阵A满足矩阵方程A2一3A一2E=O．证明：A可逆，并求出其逆矩阵A-1．

设函数y=f(x)由参数方程(t＞一1)所确定，其中φ(t)具有二阶导数，且已知证明：函数φ(t)满足方程=3(1+t)．

已知某商品的需求量D和供给量S都是价格p的函数；D=D(p)=，S=S(p)=bp，其中a＞0和b＞0为常数；价格p是时间t的函数且满足方程=k[D(p)一S(p)](k为正的常数)．假设当t=0时价格为1，试求价格函数p(t)；

已知线性方程组的通解为[2，1，0，1]T+k[1，一1，2，0]T．记αj=[α1j，α2j，α3j，α4j]T，j=1，2，…，5．问：α4能否由α1，α2，α3线性表出，说明理由．

试分析下列各个结论是函数z=f(x，y)在点P0(x0，y0)处可微的充分条件还是必要条件．(1)二元函数的极限存在；(2)二元函数z=f(x，y)在点(x0，y0)的某个邻域内有界；(3)(4)F(x)=f(x，y0)在点x0处可微，G(y)=f

下列函数中在点x＝0处可微的是()．

证明：当x＞0时，不等式＜1+x成立．

若工程在施工过程中不能停工，或不继续施工会造成安全事故或重大质量事故的，经项目法人、监理单位、设计单位同意并签字认可后即可施工，但项目法人应将情况在()个工作日内报告项目主管部门备案。

在编制施工成本计划中，将所有工作都按最迟必须开始时间开始绘制S形曲线，会产生()的情况。

入境法定检验检疫货物通关后未能在规定时间内联系检验检疫的，货主或其代理人应及时办理撤销报检手续。

企业以外购的商品向职工提供非货币性福利的，应当按照其公允价值确认职工薪酬的金额。()

乙向甲购买10台新型计算机，双方订立了合同。下列关于该合同项下计算机所有权转移的表述中，正确的有()。

佛教节日的特点是多而庞杂，吸收了中国传统的节气时令并将民俗活动糅合在一起，形成“庙会”等活动。()

以下行为构成敲诈勒索罪的有：（）

《中华人民共和国劳动法》规定：“建立劳动关系应当订立劳动合同。”这就是说：

Windows98中可以安装3种类型的网络服务软件，它们分别是Microsoft网络上的文件与打印机共享、NetWare网络上的文件与打印机共享，以及NetWare【 】。

A、Lackofvitaminsisthemaincauseofskincancer.B、Newresearchprovesthatsunbathingcausesnoproblemsatall.C、Thedang

Windows98中可以安装3种类型的网络服务软件，它们分别是Microsoft网络上的文件与打印机共享、NetWare网络上的文件与打印机共享，以及NetWare【　　】。