2. 考研
  3. 设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2，且α1=(1，一1，1)。 是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5一4A3+E，其中E为3阶单位矩阵． 验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；

设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2，且α1=(1，一1，1)。 是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5一4A3+E，其中E为3阶单位矩阵． 验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；

admin2016-01-11  71
问题 设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2，且α1=(1，一1，1)。
是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5一4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．
验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；
选项
答案由Aα1=λ1α1知Bα1=(A5一4A3+E)α1=(λ15一4λ13+1)α1=一2α1，故α1是矩阵B的属于特征值一2的特征向量． 类似，矩阵B的其他两个特征值为λi5一4λi3+1(i=2，3)． 所以B的全部特征值为一2，1，1． 因为A是实对称矩阵，故B也是实对称的．若设(x1，x2，x3)T为B的属于特征值1的特征向量，则必有(x1，x2，x3)α1=0，即(x1，x2，x3)T与α1正交．所以有x1—x2+x3=0，解此方程得其基础解系为α2=(1，1，0)T，α3=(一1，0，1)T． 故矩阵B的属于特征值一2的全部特征向量为k1α1(k1，为不等于零的任意常数)； 属于特征值1的全部特征向量为k2α2+k3α3(k2，k3是不全为零的任意常数)．
解析 若λ是n阶矩阵A的特征值f(x)是x的m次多项式，则f(λ)是f(a)的特征值，且矩阵A的属于λ的特征向量α，也是f(a)的属于f(λ)的特征向量．这是矩阵的重要性质．所以第(1)问就是以具体的矩阵来验证上述结论．第(2)问则是常见的由矩阵B的特征值、特征向量求出B．
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考研数学二

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