设二维非零向量α不是二阶方阵A的特征向量．若A2α＋Aα－6α＝0，求A的特征值，讨论A可否对角化；

admin2015-07-22 74

问题设二维非零向量α不是二阶方阵A的特征向量．
若A²α＋Aα－6α＝0，求A的特征值，讨论A可否对角化；

选项

答案由A²α＋Aα－6α＝0，得(A²＋A－6E)α＝0，因为α≠0，所以r(A²＋A－6E)＜2，从而｜A²＋A一6E｜＝0，即｜3E＋A｜．｜2E—A｜＝0，则｜3E＋A｜＝0或｜2E－A｜＝0．若｜3E＋A｜≠0，则3E＋A可逆，由(3E＋A)(2E－A)α＝0得 (2E－A)α＝0，即Aα＝2α，矛盾；若｜2E－A｜≠0，则2E—A可逆，由(2E—A)(3E＋A)α＝0，得 (3E＋A)α＝0，即Aα＝一3α，矛盾，所以有｜3E＋A｜＝0且｜2E－A｜＝0，于是二阶矩阵A有两个特征值一3，2，故A可对角化．

解析

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考研数学一

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