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  3. 设矩阵问当k为何值时，存在可逆矩阵P，使得P一1AP为对角矩阵?并求出P和相应的对角矩阵．

设矩阵问当k为何值时，存在可逆矩阵P，使得P一1AP为对角矩阵?并求出P和相应的对角矩阵．

admin2021-11-09  56
问题 设矩阵问当k为何值时，存在可逆矩阵P，使得P一1AP为对角矩阵?并求出P和相应的对角矩阵．
选项
答案(1)由｜λE一A｜=0，求A的全部特征值． [*]得A的特征值为λ1=λ2=一1，λ3=1． (2)由(λE一A)x=0，求A的特征向量． 对于λ1=λ2=一1，解线性方程组(-E-A)x=0，有[*] 要使矩阵A相似于对角矩阵，则对应于λ1=λ2=一1，必有两个线性无关的特征向量，所以r(-E-A)=3—2=1，从而有k=0． 于是当k=0时，有[*] 得对应的两个线性无关的特征向量为ξ1=(一1，2，0)T，ξ2=(1，0，2)T． 对于λ3=1，解线性方程组(E-A)x=0，有[*] 得对应的线性无关的特征向量为ξ3=(1，0，1)T．因此，当k=0时，存在可逆矩阵[*]
解析 本题主要考查矩阵可相似对角化的问题，行列式的计算及特征值、特征向量的计算．先求出矩阵A的特征值，只有当矩阵A有3个线性无关的特征向量时，A才相似于对角矩阵，即存在可逆矩阵P，使得P一1AP为对角矩阵，其中P是以A的3个线性无关的特征向量构成的矩阵．
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考研数学二

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