设n阶矩阵A≠0，存在某正整数m，使Am=O，证明：A必不相似于对角矩阵．

admin2021-11-09 63

问题设n阶矩阵A≠0，存在某正整数m，使A^m=O，证明：A必不相似于对角矩阵．

选项

答案可用反证法：设λ为A的任一特征值，x为对应的特征向量，则有Ax=λx，[*]A²x=λAx=λ²x，…，[*]A^mx=λ^mx，困A^m=O，x≠0，得λ=0．故A的特征值都是零，因此，若A可相似对角化，即存在可逆矩阵P，使P^-1AP=diag(0，0，…，0)=O，则A=POP^-1=O，这与A≠0矛盾．

解析

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