设函数f(x)是连续且单调增加的奇函数，φ(x)=∫0x(2u－x)f(x－u)du，则φ(x)是( )．

admin2016-05-17 28

问题设函数f(x)是连续且单调增加的奇函数，φ(x)=∫₀^x(2u－x)f(x－u)du，则φ(x)是( )．

选项 A、单调增加的奇函数
B、单调减少的奇函数
C、单调增加的偶函数
D、单调减少的偶函数

答案B

解析

因为

所以φ(x)为奇函数；
又φˊ(x)= ∫₀^xf(t)dt－xf(x)，
当x＞0时，φˊ(x)= ∫₀^xf(t)dt－xf(x)=x［f(ξ)－f(x)］≤0(0≤ξ≤x)，
当x≤0时，φˊ(x)= ∫₀^xf(t)dt－xf(x)=x［f(ξ)－f(x)］≤0(x≤ξ≤0)，
所以φ(x)为单调减少的奇函数，选(B) ．

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