(2009年试题，23)设二次型f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a一1)x32+2x1x3一2x2x3． (I)求二次型f的矩阵的所有特征值； (Ⅱ)若二次型f的规范形为y12+y22，求a的值．

admin2013-12-18 134

问题 (2009年试题，23)设二次型f(x₁，x₂，x₃)=ax₁²+ax₂²+(a一1)x₃²+2x₁x₃一2x₂x₃．
(I)求二次型f的矩阵的所有特征值；
(Ⅱ)若二次型f的规范形为y₁²+y₂²，求a的值．

选项

答案(I)由题设可知二次型f的矩阵[*]则[*]令｜λE—A｜=0，则可得到矩阵A的3个特征值分别为λ₁=a₂λ₂=a一2，λ₃=a+1(Ⅱ)若二次型f的规范形为y₁²+y₂²，则说明它有两个特征值为正，一个为0．①若λ₁=a=0，则λ₂=一2<0，λ₃=1>0，不符合题意；②若λ₂=a一2=0，即a=2，则λ₁=2>0，λ₃=3>0，符合题意；③若λ₃=a+1=0，即a=一1，则λ₁=一1<0，λ₂=一3<0，不符合题意．综上可知，a=2．

解析

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考研数学二

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