设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋aχ22＋χ32＋2χ1χ2－2χ2χ3－2aχ1χ3的正、负惯性指数都是1． (Ⅰ)计算a的值； (Ⅱ)用正交变换将二次型化为标准形； (Ⅲ)当χ满足χTχ＝2时，求f的最大值与最小值．

admin2017-11-09 83

问题设二次型f(χ₁，χ₂，χ₃)＝χ₁²＋aχ₂²＋χ₃²＋2χ₁χ₂－2χ₂χ₃－2aχ₁χ₃的正、负惯性指数都是1．
(Ⅰ)计算a的值；
(Ⅱ)用正交变换将二次型化为标准形；
(Ⅲ)当χ满足χ^Tχ＝2时，求f的最大值与最小值．

选项

答案(Ⅰ)二次型的矩阵为A＝[*]，则二次型的正、负惯性指数都是1，可知R(A)＝2，｜A｜＝[*]＝(a＋2)(a－1)²＝0，所以a＝－2，或a＝1，又a＝1时，显然R(A)＝1，故只取a＝－2． (Ⅱ)此时｜λE－A｜＝λ(λ＋3)(λ－3)，所以A的特征值是3，－3，0．当λ₁＝3时，解方程组(3E－A)χ＝0，得基础解系为α₁＝(1，0，1)^T；当λ₂＝－3时，解方程组(－3E－A)χ＝0，得基础解系为α₂＝(1，－2，－1)^T；当λ₂＝0时，解方程组(0E－A)χ＝0，得基础解系为α₃＝(1，1，－1)^T．将α₁，α₂，α₃单位化得 [*] 因此所求的正交变换为 [*] 所求的标准形为3y₁²－3y₂²． (Ⅲ)由于χ＝Qy，可知χ^Tχ＝(Qy)^TQy＝y^TQ^TQy＝y^Ty．因此限制条件χ^Tχ＝2也等价于y^Ty＝y₁²＋y₂²＋y₃²＝2．由于二次型为3y₁²－3y₂²，易知其在y₁²y₂²y₃²＝2时，最大值为6，最小值为－6．

解析

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考研数学三

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设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋aχ22＋χ32＋2χ1χ2－2χ2χ3－2aχ1χ3的正、负惯性指数都是1． (Ⅰ)计算a的值； (Ⅱ)用正交变换将二次型化为标准形； (Ⅲ)当χ满足χTχ＝2时，求f的最大值与最小值．

考研数学三

设函数y=y(x)由确定，则y=y(x)在x=ln2处的法线方程为________．

下列说法正确的是()．

设A为实对称矩阵，且A的特征值都大于零．证明：A为正定矩阵．

设A=，求a，b及正交矩阵P，使得PTAP=B．

设A，B，C，D都是n阶矩阵，r(CA+DB)=n．(1)证明=n；(2)设ξ1，ξ2，…，ξr与η1，η2，…，ηs分别为方程组AX=0与BX=0的基础解系，证明：ξ1，ξ2，…，ξr，η1，η2，…，ηs线性无关．

设级数绝对收敛．

设f(x)在区间[a，b]上满足a≤f(x)≤b，且有｜f’(x)｜≤q＜1，令un=f(un-1)(n=1，2，…)，u0∈[a，b]，证明：级数(un+1一un)绝对收敛．

设f(x)是奇函数，且对一切x有f(x+2)=f(x)+f(2)，又f(1)=a，a为常数，n为整数，则f(n)=________．

设f(x)在[0，+∞)上连续，0＜a＜b，且收敛，其中常数A＞0．证明：

设y=y(x)是由sinxy=确定的隐函数，求y’(0)和y"(0)的值．

患儿，女，8岁，因反复水肿、尿少4周入院。查：血压90／68mmHg，尿蛋白(+++)，尿红细胞3～5个／HP，尿白细胞0～3个／HP，血浆白蛋白25g／L，Ch9mmot／L，BUN7mmol／L。采用泼尼松短中长疗法，现已口服泼尼松15mg，tid

常规对女性不孕症有关卵巢功能的检查中，下列哪项是不必要的：

患有除了下述何种心脏病时应禁忌拔牙

A、不宜饮酒B、不宜喝茶C、不宜喝咖啡D、不宜吸烟E、不宜食醋应用氨基糖苷类抗生素时

签订经济合同是一项经济活动，因此属于会计对象。()

下列属于衍生金融工具的基本特征的有()。

社会工作者准备采用地区发展模式在某“城中村”开展服务。根据该模式的特点，下列社区问题中，最宜作为开展服务介入点的是()。

“三鹿”阴霾犹存，三聚氰胺超标奶粉又“重现江湖”。奶粉再一次信任危机。近日，记者走访市场发现，许多妈妈购买奶粉时都。依次填入划横线部分最恰当的一项是()。

有一些信件，把它们平均分成三份后还剩2封，将其中两份平均三等分还多出2封，问这些信件至少有多少封?()

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设A为实对称矩阵，且A的特征值都大于零．证明：A为正定矩阵．

设A=，求a，b及正交矩阵P，使得PTAP=B．

设A，B，C，D都是n阶矩阵，r(CA+DB)=n．(1)证明=n；(2)设ξ1，ξ2，…，ξr与η1，η2，…，ηs分别为方程组AX=0与BX=0的基础解系，证明：ξ1，ξ2，…，ξr，η1，η2，…，ηs线性无关．

设级数绝对收敛．

设f(x)在区间[a，b]上满足a≤f(x)≤b，且有｜f’(x)｜≤q＜1，令un=f(un-1)(n=1，2，…)，u0∈[a，b]，证明：级数(un+1一un)绝对收敛．

设f(x)是奇函数，且对一切x有f(x+2)=f(x)+f(2)，又f(1)=a，a为常数，n为整数，则f(n)=________．

设f(x)在[0，+∞)上连续，0＜a＜b，且收敛，其中常数A＞0．证明：

设y=y(x)是由sinxy=确定的隐函数，求y’(0)和y"(0)的值．

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签订经济合同是一项经济活动，因此属于会计对象。()

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“三鹿”阴霾犹存，三聚氰胺超标奶粉又“重现江湖”。奶粉再一次______信任危机。近日，记者走访市场发现，许多妈妈购买奶粉时都______。依次填入划横线部分最恰当的一项是()。

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