2. 考研
  3. 设有向量组(Ⅰ)：α1＝(1，0，2)T，α2＝(1，1，3)T，α3＝(1，一1，a＋2)T和向量组(Ⅱ)：β1＝(1，2，a＋3)T，β2＝(2，1，a＋6)T，β3＝(2，1，a＋4)T．试问：当口为何值时，向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价?当a为何值时，向

设有向量组(Ⅰ)：α1＝(1，0，2)T，α2＝(1，1，3)T，α3＝(1，一1，a＋2)T和向量组(Ⅱ)：β1＝(1，2，a＋3)T，β2＝(2，1，a＋6)T，β3＝(2，1，a＋4)T．试问：当口为何值时，向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价?当a为何值时，向

admin2017-06-26  61
问题 设有向量组(Ⅰ)：α1＝(1，0，2)T，α2＝(1，1，3)T，α3＝(1，一1，a＋2)T和向量组(Ⅱ)：β1＝(1，2，a＋3)T，β2＝(2，1，a＋6)T，β3＝(2，1，a＋4)T．试问：当口为何值时，向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价?当a为何值时，向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)不等价?
选项
答案由于行列式｜α1 α2 α3｜＝a＋1，故当a≠－1时，方程组χ1α1＋χ2α2＋χ3α3＝βi(1，2，3)均有解(且有唯一解)，即向量组(Ⅱ)可由(Ⅰ)线性表示；又因行列式｜β1 β2 β3｜＝6≠0，同理可知向量组(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示．所以，当a≠－1时，向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价．当a＝－1时，由于秩[α1 α2 α3]≠秩[α1 α2 α3[*]β1]，故方程组χ1α1＋χ2α2＋χ3α3＝β1无解，即向量β不能由向量组(Ⅰ)线性表示，所以此时向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)不等价．
解析
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考研数学三

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