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设向量组α1，α2，α3线性相关，向量组α2，α3，α4线性无关，问： (1)α1能否由α2，α3线性表示?证明你的结论． (2)α4能否由α1，α2，α3线性表示?证明你的结论．
设向量组α1，α2，α3线性相关，向量组α2，α3，α4线性无关，问： (1)α1能否由α2，α3线性表示?证明你的结论． (2)α4能否由α1，α2，α3线性表示?证明你的结论．
admin
2020-09-25
65
问题
设向量组α
1
，α
2
，α
3
线性相关，向量组α
2
，α
3
，α
4
线性无关，问：
(1)α
1
能否由α
2
，α
3
线性表示?证明你的结论．
(2)α
4
能否由α
1
，α
2
，α
3
线性表示?证明你的结论．
选项
答案
(1)α
1
能由α
2
，α
3
线性表示． 因为α
1
，α
2
，α
3
线性相关，所以有不全为零的数k
1
，k
2
，k
3
使k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=0． 下证k
1
≠0．若k
1
=0，则k
2
，k
3
不全为零，并且k
2
α
2
+k
3
α
3
=0，所以α
2
，α
3
线性相关，从而α
2
，α
3
，α
4
也线性相关，矛盾，所以k
1
≠0． 从而有[*]所以α
1
可由α
2
，α
3
线性表示． (2)α
4
不能由α
1
，α
2
，α
3
线性表示． 若α
4
可由α
1
，α
2
，α
3
线性表示，则有一组数k
1
，k
2
，k
3
使α
4
=k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
．而由(1)知，α
1
可由α
2
，α
3
线性表示，从而有一组数l
2
，l
3
，使α
1
=l
2
α
2
+l
3
α
3
，从而有 α
4
=k
1
(l
2
α
2
+l
3
α
3
)+k
2
α
2
+k
3
α
3
=(k
1
l
2
+k
2
)α
2
+(k
1
l
3
+k
3
)α
3
， 所以(k
1
l
2
+k
2
)α
2
+(k
1
l
3
+k
3
)α
3
+(一1)α
4
=0． 而k
1
l
2
+k
2
，k
1
l
3
+k
3
，一1为不全为零的数，因此α
2
，α
3
，α
4
线性相关，矛盾，所以α
4
不能由α
1
，α
2
，α
3
线性表示．
解析
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考研数学三
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