设随机变量X的概率密度为令Y＝X2，F(χ，y)为二维随机变量(X，Y)的分布函数．求 (Ⅰ)Y的概率密度FY(y)； (Ⅱ)Cov(X，Y)； (Ⅲ)F(－，4)．

admin2019-03-19 68

问题设随机变量X的概率密度为

令Y＝X²，F(χ，y)为二维随机变量(X，Y)的分布函数．求
(Ⅰ)Y的概率密度F_Y(y)；
(Ⅱ)Cov(X，Y)；
(Ⅲ)F(－

，4)．

选项

答案(Ⅰ)Y的分布函数为F_y(y)＝P(Y≤y)＝P(X²≤y) y≤0时，F_Y(y)＝0，∴f_Y(y)＝F′_Y(y)＝0； y＞0时，F_Y(y)＝[*] 若[*]＜1即0＜y＜1时，F_Y(y)＝[*] ∴．f_Y(y)＝F′_Y(y)＝[*] 若1≤[*]＜2即1≤y＜4时，F_Y(y)＝[*] ∴f_Y(y)＝F′_Y(y)＝[*] 若[*]≥2即y≥4时，F_Y(y)＝[*]＝1，∴f_Y(y)＝F′_Y(y)＝0，故 [*] (Ⅱ)cov(X，Y)＝cov(X，X²)＝E(X³)－EX.E(X²)，而 [*] 代入得cov(X，Y)＝[*] (Ⅲ)F(－[*]，4)＝P(X≤－[*]，Y≤4)＝P(X≤－[*]，X²≤4)＝P(X≤－[*]，｜X｜≤2) ＝P(X≤－[*]，－2≤X≤2)＝P(－2≤X≤－[*]) [*]

解析

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考研数学三

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设随机变量X的概率密度为令Y＝X2，F(χ，y)为二维随机变量(X，Y)的分布函数．求 (Ⅰ)Y的概率密度FY(y)； (Ⅱ)Cov(X，Y)； (Ⅲ)F(－，4)．

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