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[2010年] 设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解．若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解，则( )．
[2010年] 设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解．若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解，则( )．
admin
2019-03-30
125
问题
[2010年] 设y
1
，y
2
是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解．若常数λ，μ使λy
1
+μy
2
是该方程的解，λy
1
-μy
2
是该方程对应的齐次方程的解，则( )．
选项
A、λ=1／2，μ1=1／2
B、λ=一1／2，μ=一1／2
C、λ=2／3，μ=1／3
D、λ=2／3，μ=2／3
答案
A
解析
解一 因λy
1
－μy
2
是y’+p(x)y=0的解，故
(λy
1
－μy
2
)’+p(x)(λy
1
－μy
2
)=λ(y
1
’+p(x)y
1
)－μ(y
2
’+p(x)y
2
)=0．
又 y
1
’+p(x)y
1
=q(x)， y
2
’+p(x)y
2
=q(x)，
故 λq(x)－μq(x)=(λ－μ)q(x)=0．
而q(x)≠0，故λ－μ=0，即λ=μ．
又λy
1
+μy
2
为y’+p(x)y=q(x)的解，故
(λy
1
+μy
2
)’+p(x)(λy
1
+μy
2
)=λ[y
1
’+p(x)y
1
]+μ[y
2
’+p(x)y
2
]=λq(x)+μq(x)=(λ+μ)q(x)=q(x)．
因q(x)≠0，故λ+μ=1．由λ=μ得到λ=μ=1／2．仅(A)入选．
解二 y
1
与y
2
为方程y’+p(x)y=q(x)的解，又已知λy
1
+μy
2
也是该方程的解，则由命题1．6．1．1(1)知，λ+μ=1．又由λy
1
-μy
2
是该方程对应的齐次方程的解，由命题1．6．1．1(2)知，λ+(-μ)=λ－μ=0，即λ=μ．联立λ=μ，λ+μ=1解得λ=μ=1／2．仅(A)入选．
(注：命题1．6．1．1 (1)若y
1
，y
2
，…，y
s
均为y’+p(x)y=q(x)的解，则当k
1
+k
2
+…+k
s
=1时，k
1
y
1
+k
2
y
2
+…+k
s
y
s
为y’+p(x)y=q(x)的解．
(2)若y
1
，y
2
，…，y
s
均为y’+p(x)y=q(x)的解，则当k
1
+k
2
+…+k
s
=0时，k
1
y
1
+k
2
y
2
+…+k
s
y
s
为y’+p(x)y=0的解．
特别地，若y
1
，y
2
为y’+p(x)y=q(x)的两个解，则y
2
-y
1
为y’+p(x)y=0的解．)
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考研数学三
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