设A为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵B＝(A*)2－4E的特征值为0，5，32．求A－1的特征值并判断A－1是否可对角化．

admin2018-01-23 61

问题设A为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵B＝(A^*)²－4E的特征值为0，5，32．
求A^－1的特征值并判断A^－1是否可对角化．

选项

答案设A的三个特征值为λ₁，λ₂，λ₃，因为B＝(A^*)²－4E的三个特征值为0，5，32，所以 (A^*)²的三个特征值为4，9，36，于是A^*的三个特征值为2，3，6．又因为｜A^*｜＝36＝｜A｜^3－1，所以｜A｜＝6． [*]得λ₁＝3，λ₂＝2，λ₃＝1，由于一对逆矩阵的特征值互为倒数，所以A^－1的特征值为[*] 因为A^－1的特征值都是单值，所以A^－1可以相似对角化．

解析

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