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  3. 二次型f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(2x1+3x2+x3)2一5(x2+x3)2的规范形为( )

二次型f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(2x1+3x2+x3)2一5(x2+x3)2的规范形为( )

admin2019-01-23  111
问题 二次型f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(2x1+3x2+x3)2一5(x2+x3)2的规范形为(    )
选项 A、y12+y22+4y32。
B、y22一y32。
C、y12—y22一y32。
D、y12一y22+y32。
答案B
解析 方法一：将二次型中的括号展开，并合并同类项可得
f(x1,x2,x3)=5x12+5x22一4x32+14x1x2+4x1x2—4x2x3，
则该二次型矩阵为A=。由
|λE—A|==λ(λ+6)(λ一12)
可知，矩阵A的特征根为12，一6，0。因此该二次型的正惯性指数p=l，负惯性指数q=1，故选B。
  方法二：配方法
f(x1,x2,x3)
可知p=1，q=1，故选B。
  注意，在本题中若令
      
而认为该二次型的规范形是f=y12+y22一y32就不正确了，因为行列式=0，这说明线性变换(1)不是非退化的线性变换。
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考研数学三

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