已知三元二次型xTAx经正交变换化为2y12—y22—y32，又知A*α=α，其中α=(1，1，一1)T，求此二次型的表达式．

admin2017-10-19 79

问题已知三元二次型x^TAx经正交变换化为2y₁²—y₂²—y₃²，又知A^*α=α，其中α=(1，1，一1)^T，求此二次型的表达式．

选项

答案由x^TAx=2y₁²—y₂²—y₃²知A的特征值是2，一1，一1，那么｜A｜=2．从而1，一2，一2是A^*的特征值，因此α是A^*属于λ=1的特征向量，也就是A属于λ=2的特征向量．设A属于λ=一1的特征向量是x=(x₁，x₂，x₃)^T，则因A是实对称矩阵，x与α正交，故x₁+x₂—x₃=0．解出x₁=(1，一1，0)^T，x₂=(1，0，1)^T． x₁，x₂是A属于λ=一1的特征向量． [*] 故x^TAx=2x₁x₂—2x₁x₃—2x₂x₃．

解析

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考研数学三

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