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  3. 证明：若单调函数f(x)在区间(a，b)内有间断点，则必为第一类间断点．

证明：若单调函数f(x)在区间(a，b)内有间断点，则必为第一类间断点．

admin2021-11-09  58
问题 证明：若单调函数f(x)在区间(a，b)内有间断点，则必为第一类间断点．
选项
答案不妨设f(x)在(a，b)内有定义，是单调递增的，x0∈(a，b)是f(x)的间断点．再设x∈(a，x0)，则x＜x0，由单调递增性知：f(x)＜f(x0)(为常数)，即f(x)在(a，x0)上单调递增有上界，它必定存在左极限：f(x0一)=[*]f(x)≤f(x0)，式中“≤”处若取“=”号，则f(x)在x0左连续，反之点x0为f(x)的跳跃间断点，同理可证，当x＞x0时，单调增函数f(x)存在右极限f(x0+)≥f(x0)，f(x)或在x0右连续、或点x0为跳跃间断点．综合之，单调增函数f(x)在间断点x0处的左、右极限都存在，故若x0是f(x)的间断点，则x0一定是f(x)的第一类间断点．同理可证f(x)在(a，b)内单调递减的情形．
解析
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考研数学二

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