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证明当x>0时,(x2—1)lnx≥(x—1)2。
证明当x>0时,(x2—1)lnx≥(x—1)2。
admin
2018-12-29
45
问题
证明当x>0时,(x
2
—1)lnx≥(x—1)
2
。
选项
答案
令f(x)=(x
2
—1)lnx—(x—1)
2
,易知f(1)=0。又 f′(x)=2xlnx—x+2—[*],f″(x)=2lnx+1+[*]。 可见,当0<x<1时,f″′(x)<0;当1<x<+∞时,f″′(x)>0。所以当x>0时, f″(x)>f″(1)=2>0, 即f′(x)单调递增,因此,当0<x<1时,f′(x)<f′(1)=0;当1<x<+∞时,f′(x)>f′(1)=0。所以f(x)≥f(1)=0(0<x<+∞),即证得当x>0时,(x
2
—1)lnx≥(x—1)
2
。
解析
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考研数学一
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