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  3. (04年)设n阶矩阵A＝ (1)求A的特征值和特征向量； (2)求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵．

(04年)设n阶矩阵A＝ (1)求A的特征值和特征向量； (2)求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵．

admin2021-01-25  64
问题 (04年)设n阶矩阵A＝
    (1)求A的特征值和特征向量；
    (2)求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵．
选项
答案(1)当b≠0时，A的特征多项式为 ｜λE－A｜＝[*]＝[λ－1(n－1)b](λ－(1－b)]n-1， 故A的特征值为λ1＝1＋(n－1)b，λ2＝…＝λn＝1－b． 对于λ1＝1＋(n－1)b，设对应的一个特征向量为ξ1，则 [*] 解得ξ1＝(1，1，…，)T，所以，属于λ1的全部特征向量为 kξ1＝k(1，1，…，1)T，其中k为任意非零常数． 对于λ2＝…＝λn＝1－b，解齐次线性方程组[(1－b)E－A]χ＝0，由 [*] 解得基础解系为ξ2＝(1，－1，0，…，0)T，ξ3＝(1，0，一1，…，0)T，…，ξn＝(1，0，0，…，－1)T．故属于λ2＝…＝λn的全部特征向量为 k2ξ2＋k3ξ3＋…＋knξn，其中k2，k3，…，kn为不全为零的任意常数． 当b＝0时，A＝E，A的特征值为λ1＝λ2＝…＝λn＝1，任意n维非零列向量均是A的特征向量． (2)当b≠0时，A有n个线性无关的特征向量，令矩阵P＝[ξ1 ξ2…ξn]，则有 P-1AP＝diag(1＋(n－1)b，1－b，…，1－6)． 当b＝0时，A＝E，对任意n阶可逆矩阵P，均有P-1AP＝E．
解析
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考研数学三

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