(2003年试题，七)设函数y=y(x)在(一∞，+∞)内具有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,y’(0)=的解．

admin2014-07-06 67

问题 (2003年试题，七)设函数y=y(x)在(一∞，+∞)内具有二阶导数，且y^’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．
求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,y^’(0)=

的解．

选项

答案方程(1)其相应齐次方程y^’’一y=0的特征方程为λ²一1=0，即λ₁=1，λ₂=一1，从而通解为y=C₁e^x+C₂e^-x，又设方程(1)特解为y^*=Acosx+Bsinx代入方程(1)可求得A=0，[*]．因此y^*=[*]综上y^’’一y=sinx的通解为[*]由初始条件y(0)=0,[*]．可求出C₁=1，C₂=一1．因此所求初值问题的解为[*]

解析

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考研数学一

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设函数f(x)在区间[0，1]上二阶可导，f(0)＝0，且f(1)＝1，证明：存在x0∈(0，1)，使得f’(x0)＝1；
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