当x→0时下列无穷小是x的n阶无穷小，求阶数n： (Ⅰ)一1； (Ⅱ)(1+tan2x)sinx一1； (Ⅲ)； (Ⅳ)∫0xsint．sin(1一cost)2dt．

admin2017-10-23 87

问题当x→0时下列无穷小是x的n阶无穷小，求阶数n：
(Ⅰ)

一1；
(Ⅱ)(1+tan²x)^sinx一1；
(Ⅲ)

；
(Ⅳ)∫₀^xsint．sin(1一cost)²dt．

选项

答案(Ⅰ)[*]一1～x⁴—2x²～一2x² (x→0)，即当x→0时[*]一1是x的2阶无穷小，故n=2． (Ⅱ)(1+tan²x)^sinx一1一ln[(1+tan²x)^sinx一1+1] =sinxln(1+tan²x)～sinxtan²x ～x．x²=x³ (x→0)，即当x→0时(1+tan²x)^sinx一1是x的3阶无穷小，故n=3． (Ⅲ)由1—[*]的4阶无穷小，即当x→0时[*]是x的4阶无穷小，故n=4． [*] 即当x→0时∫₀^xsint．sin(1一cost)²dt是x的6阶无穷小，故n=6．

解析

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考研数学三

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求
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设f(x)可导，证明：f(x)的两个零点之间一定有f(x)+f’(x)的零点．
设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内大于零，并且满足xf’(x)=f(x)+(a为常数)，又曲线y=f(x)与x=1，y=0所围的图形S的面积为2．求函数y=f(x)，并问a为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小．
f(x)在[0，1]上有连续导数，且f(0)=0，证明：存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)=2∫01f(x)dx．
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