设f(x)可导，证明：f(x)的两个零点之间一定有f(x)+f’(x)的零点．

admin2015-07-22 88

问题设f(x)可导，证明：f(x)的两个零点之间一定有f(x)+f’(x)的零点．

选项

答案构造辅助函数F(x)=f(x)e^x，由于f(x)可导，故F(x)可导，设x₁和x₂为f(x)的两个零点，且 x₁＜x₂，则F(x)在[x₁，x₂]上满足罗尔定理条件，由罗尔定理，至少存在一点ξ∈(x₁，x₂)，使得F’(ξ)=0，即f’(ξ)e^ξ+f(ξ)e^ξ=e^ξ[f’(ξ)+f(ξ)]=0．由于e^ξ≠0，因此必有f’(ξ)+f(ξ)=0．

解析 f(x)的两个零点x₁，x₂(不妨设x₁＜x₂)之间有f(x)+f’(x)的零点问题，相当于在(x₁，x₂)内有f(x)+f’(x)=0的点存在的问题．若能构造一个函数F(x)，使F’(x)=[f(x)+ f’(x)]φ(x)，而φ(x)≠0，则问题可以得到解决．由(e^x)’=e^x可以得到启发，令F(x)=f(x)e^x．

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考研数学三

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