设f(x)连续，且∫0xtf(2x一t)dt=arctanx3，f(1)=1，求∫12f(x)dx。

admin2018-12-19 77

问题设f(x)连续，且∫₀^xtf(2x一t)dt=arctanx³，f(1)=1，求∫₁²f(x)dx。

选项

答案令2x一t=u，则原等式变为 ∫_x^2x(2x一u)f(u)du=arctanx³，即2x∫_x^2xf(u)du—∫_x^2xuf(u)du=arctan(x³)，两边同时对x求导，可得 2∫_x^2xf(u)du—xf(x)=[*] 令x=1，则上面的等式可化为2∫₁²f(u)du一f(1)=[*]，由已知条件f(1)=1可知∫₁²f(x)dx=[*]。

解析

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