设f(x)在[0，1]上二阶可导，且｜f’’(x)｜≤1(x∈[0，1])，又f(0)=f(1)，证明：｜f’(x)｜≤(x∈[0，1])．

admin2018-05-22 61

问题设f(x)在[0，1]上二阶可导，且｜f’’(x)｜≤1(x∈[0，1])，又f(0)=f(1)，证明：
｜f’(x)｜≤

(x∈[0，1])．

选项

答案由泰勒公式得 f(0)=f(x)-f’(x)x+[*]f’’(ξ₁)x²，ξ₁∈(0，x)， f(1)=f(x)+f’(x)(1-x)+[*]f’’(ξ₂)(1-x)²，ξ₂∈(x，1)，两式相减，得f’(x)=[*]f’’(ξ₁)x²-[*]f’’(ξ₂)(1-x)²．两边取绝对值，再由｜f’’(x)｜≤1，得｜f’(x)｜≤[*][x²+(1-x)²]=[*]

解析

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