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  3. 已知非齐次线性方程组 有3个线性无关的解． (1)证明方程组的系数矩阵A的秩r(A)＝2； (2)求a，b的值及方程组的通解．

已知非齐次线性方程组 有3个线性无关的解． (1)证明方程组的系数矩阵A的秩r(A)＝2； (2)求a，b的值及方程组的通解．

admin2014-01-26  85
问题 已知非齐次线性方程组

  有3个线性无关的解．
  (1)证明方程组的系数矩阵A的秩r(A)＝2；
  (2)求a，b的值及方程组的通解．
选项
答案(1)设α1，α2，α3是方程组Ax＝β的3个线性无关的解，其中 [*] 则有 A(α1－α2)＝0，A(α1－α3)＝0． 则 α1－α2，α1－α2是对应齐次线性方程组Ax＝0的解，且线性无关(否则，易推出α1， α2，α3线性相关，矛盾)． 所以 n－r(A)≥2，即4－r(A)≥2→r(A)≤2． 又矩阵A中有一个2阶子式[*]＝－1≠0，所以r(A)≥2． 因此 r(A)＝2． (2)因为 [*] 又r(A)＝2，则 [*] 对原方程组的增广矩阵[*]施行初等行变换： [*] 故原方程组与下面的方程组同解 [*] 选x3，x1为自由变量，则 [*] 故所求通解为 [*]，k1，k2为任意常数．
解析 [分析]  (1)根据系数矩阵的秩与基础解系的关系证明；(2)利用初等变换求矩阵A的秩，确定参数a，b，然后解方程组．
    [评注]  本题综合考查矩阵的秩、初等变换、方程组系数矩阵的秩和基础解系的关系以及方程组求解等多个知识点，特别是第一部分比较新颖．这是考查综合思维能力的一种重要表现形式，今后类似问题将会越来越多．
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考研数学二

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