2. 考研
  3. (07年)设3阶实对称矩阵A的特征值λ1＝1，λ2＝2，λ3＝－2，且α1＝(1，－1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B＝A5－4A3＋E，其中E为3阶单位矩阵． (Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； (

(07年)设3阶实对称矩阵A的特征值λ1＝1，λ2＝2，λ3＝－2，且α1＝(1，－1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B＝A5－4A3＋E，其中E为3阶单位矩阵． (Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； (

admin2021-01-25  72
问题 (07年)设3阶实对称矩阵A的特征值λ1＝1，λ2＝2，λ3＝－2，且α1＝(1，－1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B＝A5－4A3＋E，其中E为3阶单位矩阵．
    (Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；
    (Ⅱ)求矩阵B．
选项
答案(Ⅰ)记矩阵A的属于特征值λi的特征向量为αi(i＝1，2，3)，由特征值的定义与性质，有Akαi＝λikαi(i＝1，2，3，k＝1，2，…)，于是有 Bα1＝(A5－4A3＋E)α1＝(λ15－4λ13＋)α1＝－2α1 因α1＝≠0，故由定义知－2为B的一个特征值且α1为对应的一个特征向量．类似可得 Bα2＝(λ25－4λ23＋1)α2＝α2 Bα3＝(λ35－4λ33＋1)α3＝α3 因为A的全部特征值为λ1，λ2，λ3，所以B的全部特征值为λi5－4λi3＋(i＝1，2，3)，即B的全部特征值为－2，1，1． 因－2为B的单特征值，故B的属于特征值－2的全部特征向量为k1α1，其中k1是不为零的任意常数． 设χ＝(χ1，χ2，χ3)T为B的属于特征值1的任一特征向量．因为A是实对称矩阵，所以B也是实对称矩阵．因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，所以有(χ1，χ2，χ3)α1＝0，即 χ1－χ2＋χ3＝0 解得该方程组的基础解系为 ξ2＝(1，1，0)T，ξ3＝(－1，0，1)T 故B的属于特征值1的全部特征向量为忌k2ξ2＋k3ξ3，其中k2，k3为不全为零的任意常数． (Ⅱ)由(Ⅰ)知α1，ξ2，ξ3为B的3个线性无关的特征向量，令矩阵 [*]
解析
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考研数学三

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