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试证明n维列向量组α1,α2,…,αn线性无关的充分必要条件是行列式 其中αiT表示列向量αi的转置,i=1,2,…,n.
试证明n维列向量组α1,α2,…,αn线性无关的充分必要条件是行列式 其中αiT表示列向量αi的转置,i=1,2,…,n.
admin
2021-01-25
116
问题
试证明n维列向量组α
1
,α
2
,…,α
n
线性无关的充分必要条件是行列式
其中α
i
T
表示列向量α
i
的转置,i=1,2,…,n.
选项
答案
记n阶矩阵A[α
1
α
2
…α
n
],则α
1
,α
2
,…,α
n
线性无关的充分必要条件是|A|≠0.另一方面,由 [*] 有|A
T
A|=|A
T
||A|=|A|
2
=D. 从而,|A|≠0与D≠0等价.由此可见,α
1
,α
2
,…,α
n
线性无关的充分必要条件是D≠0.
解析
本题主要考查满秩方阵性质的应用及矩阵乘法的概念.注意,矩阵乘法的本质是“左行乘右列”,由此可知矩阵(α
i
T
α
j
)
n×n
的第i行[α
i
T
α
1
α
i
T
α
2
…α
i
T
α
n
]可以写成α
i
T
[α
1
α
2
…α
n
],因此可将矩阵(α
i
T
α
i
)
n×n
写成ATA的形式,从而建立起行列式D与|A|的关系,这是本题证明之关键.
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考研数学三
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