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  3. 试证明n维列向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是行列式 其中αiT表示列向量αi的转置，i=1，2，…，n．

试证明n维列向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是行列式 其中αiT表示列向量αi的转置，i=1，2，…，n．

admin2021-01-25  115
问题 试证明n维列向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是行列式

其中αiT表示列向量αi的转置，i=1，2，…，n．
选项
答案记n阶矩阵A[α1 α2…αn]，则α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是|A|≠0．另一方面，由 [*] 有|ATA|=|AT||A|=|A|2=D． 从而，|A|≠0与D≠0等价．由此可见，α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是D≠0．
解析 本题主要考查满秩方阵性质的应用及矩阵乘法的概念．注意，矩阵乘法的本质是“左行乘右列”，由此可知矩阵(αiTαj)n×n的第i行[αiTα1 αiTα2…αiTαn]可以写成αiT[α1 α2…αn]，因此可将矩阵(αiTαi)n×n写成ATA的形式，从而建立起行列式D与|A|的关系，这是本题证明之关键．
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考研数学三

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