设A，B，C，D都是n阶矩阵，r(CA+DB)＝n． (1)证明r＝n； (2)设ξ1，ξ2，…，ξr与η1，η2，…，ηs分别为方程组AX＝0与BX＝0的基础解系，证明：ξ， ξ2，…，ξR，η1，η2，…，ηS线性无关．

admin2018-01-23 77

问题设A，B，C，D都是n阶矩阵，r(CA+DB)＝n．
(1)证明r

＝n；
(2)设ξ₁，ξ₂，…，ξ_r与η₁，η₂，…，η_s分别为方程组AX＝0与BX＝0的基础解系，证明：ξ，
ξ₂，…，ξ_R，η₁，η₂，…，η_S线性无关．

选项

答案(1)因为n＝r(CA＋DB)＝r[*]； (2)因为r[*]＝n，所以方程组[*]X＝0只有零解，从而方程组AX＝0与BX＝0没有非零的公共解，故ξ₁，ξ₂，…，ξ_r与η₁，η₂，…，η_s线性无关．

解析

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考研数学三

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