设二次型f(x1，x2，x3)=2x12+ax22+2x32+2x1x2一2bx1x3+2x2x3经过正交变换化为3y12+3y22。 (I)求a，b的值； (Ⅱ)求正交变换x=Qy，使二次型化为标准形。

admin2016-03-16 47

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=2x₁²+ax₂²+2x₃²+2x₁x₂一2bx₁x₃+2x₂x₃经过正交变换化为3y₁²+3y₂²。
(I)求a，b的值；
(Ⅱ)求正交变换x=Qy，使二次型化为标准形。

选项

答案[*] 则f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx，因为二次型经过正交变换化为了3y₁²+3y₂²。所以矩阵A的三个特征值分别为λ₁=3，λ₂=3，λ₃=0，根据矩阵特征值的和是矩阵的迹(对角元素的和)，特征值的乘积是矩阵行列式的值，即有λ₁+λ₂+λ₃=4+a=6，得a=2，λ₁λ₂λ₃=｜A｜=一2(b+2)(b—1)=0，得b=一2或b=1。 [*] 则存在正交变换x=Qy，使二次型化为标准形3y₁²+3y₂²。

解析

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考研数学三

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设二次型f(x1，x2，x3)=2x12+ax22+2x32+2x1x2一2bx1x3+2x2x3经过正交变换化为3y12+3y22。 (I)求a，b的值； (Ⅱ)求正交变换x=Qy，使二次型化为标准形。

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