设A为n阶矩阵，A11≠0．证明：非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解的充分必要条件是A*b=0．

admin2020-03-16 118

问题设A为n阶矩阵，A₁₁≠0．证明：非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解的充分必要条件是A^*b=0．

选项

答案设非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解，则r(A)＜n，从而｜A｜=0，于是A^*b=A^*AX=｜A｜X=0．反之，设A^*b=0，因为b≠0，所以方程组A^*X=0有非零解，从而r(A^*)＜n，又A₁₁≠0，所以r(A^*)=1，且r(A)=n-1．因为r(A^*)=1，所以方程组A^*X=0的基础解系含有n-1个线性无关的解向量，而A^*A=0，所以A的列向量组α₁，α₂，…，α_n为方程组A^*X=0的一组解向量．由A₁₁≠0．得α₂，…，α_n线性无关，所以α₂，…，α_n是方程组A^*X=0的基础解系．因为A^*b=0，所以b可由α₂，…，α_n线性表示，也可由α₁，α₂，…，α_n线性表示，故r(A)=[*]=n-1＜n，即方程组AX=b有无穷多个解．

解析

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考研数学二

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