2. 考研
  3. 设3阶实对称矩阵A的秩为2，且 求A的所有特征值与特征向量；

设3阶实对称矩阵A的秩为2，且 求A的所有特征值与特征向量；

admin2021-02-25  60
问题 设3阶实对称矩阵A的秩为2，且
  
求A的所有特征值与特征向量；
选项
答案解法1：由题设知 [*] 所以，由特征值与特征向量的定义，λ1=1是A的一个特征值，对应的一个特征向量为α1=(1，0，1)T．λ2=-1是A的又一个特征值，对应的一个特征向量为α2=(1，0，-1)T． 又r(A)=2，所以A的另一特征值λ3=0，设λ3对应的特征向量为α3=(x1，x2，x3)T，由题设知，αT1α3=0，αT2α3=0，即 [*] 解得基础解系为α3=(0，1，0)T． 故A的特征值为λ1=1，λ2=-1，λ3=0．依次对应的特征向量为 K1(1，0，1)T，K2(1，0，-1)T，K3(0，1，0)T， 其中K1，K2，K3均是不为0的任意常数． 解法2：设[*]，由 [*] 有 [*] 得a=0，c=1，b=0，e=0，f=0．于是 [*] 再由r(A)=2，得d=0．然后再求A的特征值与特征向量．
解析
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考研数学二

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