设f(χ)在(0，＋∞)二阶可导且f(χ)，f〞(χ)在(0，＋∞)上有界，求证：f′(χ)在(0，＋∞)上有界．

admin2016-10-21 52

问题设f(χ)在(0，＋∞)二阶可导且f(χ)，f〞(χ)在(0，＋∞)上有界，求证：f′(χ)在(0，＋∞)上有界．

选项

答案按条件，联系f(χ)，f〞(χ)与f′(χ)的是带拉格朗日余项的一阶泰勒公式．[*]χ＞0，h＞0有 f(χ＋h)＝f(χ)＋f′(χ)h＋[*]f〞(ξ)h²，其中ξ∈(χ，χ＋h)．特别是，取h＝1，ξ∈(χ，χ＋1)，有 f(χ＋1)＝f(χ)＋f′(χ)＋[*]f〞(ξ)，即f′(χ)＝f(χ＋1)－f(χ)－[*]f〞(ξ)．由题设，｜f(χ)｜≤M₀，｜f〞(χ)｜≤M₂([*]χ∈(0，＋∞))，M₀，M₂为常数，于是有｜f′(χ)｜≤｜f(χ＋1)｜＋｜f(χ)｜＋[*] 即f′(χ)在(0，＋∞)上有界．

解析

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