设曲线y=f(x)，其中f(x)是可导函数，且f(x)＞0,已知曲线y=f(x)与直线y=0,x=1及x=t(t＞1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍，求该曲线的方程。

admin2022-10-13 92

问题设曲线y=f(x)，其中f(x)是可导函数，且f(x)＞0,已知曲线y=f(x)与直线y=0,x=1及x=t(t＞1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍，求该曲线的方程。

选项

答案由题意知，π∫₁^tf²(x)dx=πt∫₁^tf(x)dx 两边对t求导得 f²(t)=∫₁^tf(x)dx+tf(t) 代入t=1得f(1)=1,或f(1)=0(舍去),再求导得 2f(t)f’(t)=2f(t)+tf’(t) 记f(t)=y,则[*],因此 [*]

解析

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考研数学三

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