2. 考研
  3. 设有平面力F(χ，y)＝(P(χ，y)，Q(χ，y))，其中P(χ，y)＝f(χ)＋y[e－χ－f′(χ)]，Q(χ，y)＝f′(χ)，函数f(χ)二阶连续可导，并满足f′(0)＝0，试确定f(χ)，使得 (Ⅰ)力F对运动质点做的功与质点运动路径无

设有平面力F(χ，y)＝(P(χ，y)，Q(χ，y))，其中P(χ，y)＝f(χ)＋y[e－χ－f′(χ)]，Q(χ，y)＝f′(χ)，函数f(χ)二阶连续可导，并满足f′(0)＝0，试确定f(χ)，使得 (Ⅰ)力F对运动质点做的功与质点运动路径无

admin2018-06-12  78
问题 设有平面力F(χ，y)＝(P(χ，y)，Q(χ，y))，其中P(χ，y)＝f(χ)＋y[e－χ－f′(χ)]，Q(χ，y)＝f′(χ)，函数f(χ)二阶连续可导，并满足f′(0)＝0，试确定f(χ)，使得
    (Ⅰ)力F对运动质点做的功与质点运动路径无关；
    (Ⅱ)若L是由点A(－1，1)到点8(1，0)逐段光滑的有向曲线，则∫LPdχ＋Qdy＝．
选项
答案条件(Ⅰ)即∫LPdχ＋Qdy在全平面与路径无关[*]，即 f〞(χ)＝e－χ－f′(χ)，f〞(χ)＋f′(χ)＝e－χ． 现求此方程的解． 这也是可降阶的二阶方程．令p＝f′(χ)，两边乘μ(χ)＝e∫dχ＝eχ得 (eχp)′＝1． 积分并注意p(0)＝f′(0)＝0得 eχf′(χ)＝χ，f′(χ)＝χe－χ． 再积分得f(χ)＝－(χ＋1)e－χ＋C． 现由条件(Ⅱ)定出常数C． 因积钋与路径无关．取L如图27—3所示的路径， [*] 则有∫LPdχ＋Qdy＝∫10Q(－1，y)dy＋∫-11P(χ，0)dχ ＝∫10f′(－1)dy＋∫-11f(χ)dχ ＝e＋∫-11[－(χ＋1)e－χ＋C]dχ ＝e＋(χ＋1)e－χ｜-11＋e－χ｜-11＋2C ＝[*]， [*]C＝0． 因此，f(χ)＝－(χ＋1)e－χ．
解析
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考研数学一

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